Logo

Łukasz 796 083 343 Grzegorz 731 857 989

Przykład 4

Przykład 4

Treść

Wyznaczyć wykresy sił wewnętrznych.

belki_przegubowe004_00

Rozwiązanie

Wyznaczenie reakcji podporowych

 

belki_przegubowe004_01

Równanie dla całej belki

\(
\begin{align*}
&\sum{x}=0 & H_{A}-10\sqrt3=0 && H_{A}=10\sqrt3\\
\end{align*}
\)

Równanie dla części I

\(
\begin{align*}
&\sum{y}=0 & -30+V_{B}=0 && V_{B}=30\\
&\sum{M_{A}} & M_{A}-V_{B}\cdot 4=0 && M_{A}=120\\
\end{align*}
\)

Równanie dla części II

\(
\begin{align*}
&\sum{M_{C}}=0 & 20-30\cdot 2+10\cdot 6\cdot 3-V_{0}\cdot 4-30\cdot 6=0 && V_{D}=-10\\
&\sum{y}=0 & -30+V_{C}-10\cdot 6-10+30=0 && V_{C}=70\\
\end{align*}
\)

belki_przegubowe004_02

Przedział AB \(x \in{\langle0,4)}\)

 

\(
\begin{align*}
&Q(x)=-30\\
&Q(0)=Q_{4}=-30\\
&M(x)=120-30x\\
&M(0)=120\\
&M(4)=0\\
\end{align*}
\)

belki_przegubowe004_03

Przedział BC \(x \in{\langle0,2)}\)

\(
\begin{align*}
&Q(x)=-30\\
&Q(0)=Q_{2}=-30\\
&M(x)=20-30x\\
&M(0)=20\\
&M(2)=-40\\
\end{align*}
\)

 

belki_przegubowe004_04

Przedział ED \(x \in{\langle0,2)}\)

\(
\begin{align*}
&Q(x)=-30+10x\\
&Q(0)=-30\\
&Q(2)=-10\\
&M(x)=30x-10x\cdot \frac{1}{2}x=30x-5x^2\\
&M(0)=0\\
&M(2)=40\\
\end{align*}
\)

 

Sprawdzamy, czy jest ekstremum, przyrównując pochodną z funkcji momentu do zera (pochodną z funkcji momentu jest funkcja siły tnącej), przy czym należy pamiętać, że pisząc równanie z lewej strony \(Q_{x}=\frac{dM_{x}}{dx}\), a z prawej \(-Q_{x}=\frac{dM_{x}}{dx}\)

\(
\begin{align*}
&Q(x)=0 & -30+10x=0 && x=3
\end{align*}
\)

 

Policzona wartość x jest poza przedziałem, w którym jesteśmy \(x \in{\langle0,2)}\), więc ekstremum jest poza naszym przedziałem.

belki_przegubowe004_05

Przedział DC \(x \in{\langle2,6)}\)

 

\(
\begin{align*}
&Q(x)=-30+10+10x=-20+10x\\
&Q(2)=0\\
&Q(6)=40\\
&M(x)=30x-10(x-2)-10x\cdot \frac{1}{2}x=30x-10(x-2)-5x^2\\
&M(2)=40\\
&M(6)=-40\\
&Q(x)=0 \hspace{3cm}-20+10x=0 \hspace{3cm} x=2\\
\end{align*}
\)

Nie ma ekstremum.

Wykres

belki_przegubowe004_06
[/pms-restrict]

Możliwość komentowania jest wyłączona.