Logo

Łukasz 796 083 343 Grzegorz 731 857 989

Przykład 1 (bezpłatny)

Przykład 1 (bezpłatny)

Temat

Oblicz przemieszczenie pionowe punktu B oraz kąt obrotu w punkcie B. Uwzględnij tylko wpływ momentów zginających.
mmm_belki_proste001_0

Rozwiązanie

 

1. Narysowanie wykresu momentów od obciążenia zewnętrznego (Mp) oraz wykresów jednostkowych M1 – belka obciążona siłą skupioną (w celu policzenia przemieszczenia pionowego) oraz M2 – belka obciążona momentem skupionym (w celu policzenia kąta obrotu).

mmm_belki_proste001_1

2. Przemieszczenie pionowe punktu B

\(
\begin{align*}
&\Delta_B=\int{\frac{M_P\cdot M_1}{EJ}dx}=\\
\end{align*}
\)

mmm_belki_proste001_2

\(
\begin{align*}
=\frac{1}{EJ}\left(\frac{1}{3}\cdot 180\cdot 6\cdot 6-\frac{1}{3}\cdot \frac{10\cdot 6^2}{8}\cdot 6\cdot 6\right)=\frac{1620}{EJ}\\
\end{align*}
\)

 

3. Kąt obrotu punktu B

\(
\begin{align*}
\varphi_B=\int{\frac{M_P\cdot M_2}{EJ}dx}=\\
\end{align*}
\)

mmm_belki_proste001_3

\(
\begin{align*}
=\frac{1}{EJ}\left(\frac{1}{3}\cdot 180\cdot 6\cdot 1-\frac{1}{3}\cdot 6\cdot 6\cdot \frac{10\cdot6^2}{8}\right)=-\frac{180}{EJ}\\
\end{align*}
\)

To w zasadzie kończy zadanie, ale żeby uzmysłowić sobie trochę bardziej o czym mówimy przyjmijmy, że w treści zadania był podany przekrój pręta – prostokątny, wymiary \(bxh=0,2×0,3m\), oraz materiał z którego został wykonany – stal konstrukcyjne o module Younge’a \(E=210GPa\).
Wyliczamy moment bezwładności (wzory ogólne, znane nam z wytrzymałości materiałów):
\(
\begin{align*}I=\frac{bh^3}{12}=4,5\cdot10^{-4} m^4
\end{align*}
\)
Podstawiając do naszych wyników z punktów 2 i 3 dostaniemy:
\(
\begin{align*}
\delta_B&=\frac{1620}{EJ}=\frac{1620\cdot 10^3}{210\cdot 10^9\cdot 4,5\cdot10^-4 }=0,017m=1,7cm\\
\varphi_B&=\frac{-180}{EJ}=\frac{-180\cdot 10^3}{210\cdot 10^9\cdot 4,5\cdot10^-4 }=-1,9\cdot 10^{-3}rad=-0,11^\circ\
\end{align*}
\)
Dla jasności – w liczniku pojawia się nam \(10^3\) ponieważ wykres momentu od obciążenia zewnętrznego miał jednostkę \(kNm\).
Radiany na stopnie przeliczyliśmy korzystając z ogólnie znanego wzoru \(rad=\frac{180}{\pi}\).

Na koniec zrobimy sobie jeszcze jedną małą dygresję – w treści zadania powiedziane było, że mamy uwzględnić jedynie wpływ momentu zginającego. I z reguły nawet jeżeli nie będzie to explicit napisane w treści zadania to będziemy się ograniczać jedynie do całkowania momentów zginających ponieważ wpływ sił tnących i normalnych najczęściej będzie pomijalny. Ale sprawdźmy jaki byłby wpływ sił tnących na wynik w naszym zadaniu.

Dodaj komentarz