Logo

艁ukasz 796 083 343 Grzegorz 731 857 989

馃帪锔廝rzyk艂ad 1 (bezp艂atny)

馃帪锔廝rzyk艂ad 1 (bezp艂atny)

Tre艣膰

Oblicz metod膮 si艂 i narysuj wykres ostateczny moment贸w gn膮cych.

Rozwi膮zanie

W tym przyk艂adzie poka偶emy jak mo偶na rozwi膮za膰 t膮 sam膮 belk膮 korzystaj膮c z dw贸ch r贸偶nych uk艂ad贸w podstawowych.

 

SPOS脫B I

 

Liczymy stopie艅 statycznej niewyznaczalno艣ci SSN i dobieramy uk艂ad podstawowy metody si艂 UPMS.

SSN= 4-3=1

 

Rysujemy wykres jednostkowy i wykres od obci膮偶enia zewn臋trznego.

Stan P

\(
\begin{align*}
&\sum{F_{iY}}=0 & V_C=30+12\cdot4=78\hbox{ kN}\\
&\sum{M_{C}}=0 & -M_D+12\cdot4\cdot2-30\cdot3=0 & \Longrightarrow M_D=6\hbox{ kNm}\\
\end{align*}
\)

\(\begin{align*}
\end{align*}\)

Stan x1=1

Wyliczamy X1 i rysujemy wykres momentu ostatecznego.

R贸wnanie kanoniczne metody si艂

\(
\begin{align*}
&\delta_{11} \cdot x_1 + \Delta {_1}{_P} \\
&\hbox{Liczymy wsp贸艂czynnik i wyraz wolny r贸wnania kanonicznego. }\\
&\Delta{_1}{_P}=\\
\end{align*}
\)

\(
\begin{align*}
&\Delta{_1}{_P}=\frac{1}{EI}(-\frac{1}{6}\cdot3\cdot90\cdot3-\frac{1}{3}\cdot90\cdot6\cdot3- 聽 聽 聽 聽 聽 聽 聽 聽 聽 \frac{1}{2}\cdot90\cdot6\cdot4+\frac{1}{2}\cdot6\cdot6\cdot4+\frac{2}{3}\cdot\frac{12\cdot4^{2}}{8}\cdot4\cdot6)=-\frac{1299}{EI}\\
&\delta_{{_1}{_1}}=\\
\end{align*}
\)

 

\(
\begin{align*}
&\delta_{{_1}{_1}}=\frac{1}{2EI}(\frac{1}{3}\cdot3\cdot3\cdot3)+\frac{1}{EI}(\frac{1}{3}\cdot6\cdot6\cdot3+\frac{1}{3}\cdot3\cdot3\cdot3+\frac{1}{6}\cdot3\cdot6\cdot3\cdot2+\cdot6\cdot6\cdot4)=\frac{211,5}{EI}\\
&\hbox{Rozwi膮zujemy r贸wnanie kanoniczne metody si艂 i obliczamy szukan膮 reakcj臋.} \\
&X_1=\frac{-\Delta{_1}{_P}}{\delta_{{_1}{_1}}}=6,142\\
&\hbox{Korzystaj膮c z metody superpozycji liczymy warto艣ci momentu na wykresie ostatecznym.}聽\\
&M_{OST}=M_1\cdot{X_1}+M_P\\
&M_A=0\\ 聽 聽 聽 聽 聽 聽 聽 聽 聽 聽 聽 聽 聽 聽 聽 聽 聽 聽 聽 聽 聽 聽 聽 聽 聽 聽 聽 聽 聽 聽 聽 聽 聽 聽 聽 聽 聽 聽 聽 聽 聽 聽 聽 聽 聽 聽 聽 聽 聽 聽 聽 聽 聽 聽 聽 聽 聽 聽 聽 聽 聽 聽 聽 聽 聽 聽 聽 聽 聽 聽 聽 聽 聽 聽 聽 聽 聽 聽 聽 聽 聽 聽 聽 聽 聽 聽 聽 聽 聽 聽 聽 聽 聽 聽 聽 聽 &M_B=3\cdot{X_1}+0=18,426\\
&M_C=6\cdot{X_1}-90=-53,149\\
&M_D=6\cdot{X_1}+6=42,851\\
\end{align*}
\)

Rysujemy ostateczny wykres momentu gn膮cego.

Komentarz do przerywanej linii pod obci膮偶eniem ci膮g艂ym (wykres paraboliczny):

Generalnie 偶eby powiedzie膰 czy pod obci膮偶eniem ci膮g艂ym na wykresie moment贸w parabola osi膮gnie mi臋dzy punktami charakterystycznymi warto艣膰 ekstremaln膮, czy nie – nale偶y wyznaczy膰 wykres si艂 tn膮cych na tym odcinku i stwierdzi膰 czy na wykresie si艂 tn膮cych wykres si臋 zeruje. Je艣li si臋 zeruje, to w tym miejscu na wykresie moment贸w b臋dzie ekstremum.

W tym konkretnym przypadku maj膮c intuicj臋 i spogl膮daj膮c na podparcie i obci膮偶enie belki widzimy, 偶e wykres si艂 tn膮cych na pewno mi臋dzy tymi punktami charakterystycznymi nie zmienia znaku, gdy偶 zacznie si臋 od warto艣ci 0 po prawej stronie (brak pocz膮tkowej si艂y tn膮cej) i b臋dzie zmienia艂 si臋 tylko w jednym kierunku na tym odcinku (obci膮偶enie ci膮g艂e).

Dla przypadku og贸lnego jednak na tym etapie nie mamy mo偶liwo艣ci stwierdzi膰 czy to ekstremum b臋dzie, proponuj臋 wi臋c albo nie rysowania paraboli do momentu obliczenia czy b臋dzie ekstremum, albo rysowania jej przerywan膮 lini膮. S膮 to jednak do艣膰 lu藕ne spostrze偶enia i mo偶emy znale藕膰 r贸偶ne zdanie na ten temat.

Jako, 偶e wed艂ug tre艣ci zadania celem by艂 tylko wykres Most, nie oblicza si臋 si艂 tn膮cych w tym zadaniu.

 

SPOS脫B II

Liczymy stopie艅 statycznej niewyznaczalno艣ci SSN i dobieramy uk艂ad podstawowy metody si艂 UPMS.

SSN=4-3=1

 

 

 

Rysujemy wykres jednostkowy i wykres od obci膮偶enia zewn臋trznego.

 

Stan P

\(
\begin{align*}
&\sum{M_{C}}=0 & 12\cdot4\cdot2-M_D=0 聽& \Longrightarrow聽M_D=96\hbox{ kNm}\\
&\sum{M_{A}}=0 & 30\cdot3-V_C\cdot6=0 & \Longrightarrow V_C=15\hbox{ kN}\\
&\sum{F_{iY}}=0 & V_A+V_C-30=0 & \Longrightarrow V_A=15\hbox{ kN}\\
\end{align*}
\)

 

Stan x1=1

Wyliczamy X1 i rysujemy wykres momentu ostatecznego.

 

\(
\begin{align*}
&\hbox{Liczymy wsp贸艂czynnik i wyraz wolny r贸wnania kanonicznego. }\\
&\Delta{_1}{_P}=
\end{align*}
\)

\(
\begin{align*}
&\Delta{_1}{_P}=\frac{1}{2EI}(\frac{1}{3}\cdot45\cdot0,5\cdot3)+\frac{1}{EI}(\frac{1}{3}\cdot0,5\cdot45\cdot3 +\frac{1}{6}\cdot1\cdot45\cdot3+\frac{1}{2}\cdot96\cdot1\cdot4+\frac{2}{3}\cdot\frac{12\cdot4^{2}}{8}\cdot4\cdot1)=\frac{312,25}{EI}\\
&\delta_{{_1}{_1}}=
\end{align*}
\)

\(
\begin{align*}
&\delta_{{_1}{_1}}=\frac{1}{2EI}(\frac{1}{3}\cdot0,5^2\cdot3)+\frac{1}{EI}(\frac{1}{3}\cdot1^2\cdot3+\frac{1}{3}\cdot0,5^2\cdot3+\frac{1}{6}\cdot1\cdot0,5\cdot2\cdot3+1^2\cdot4)=\frac{5,875}{EI}\\ &\hbox{Rozwi膮zujemy r贸wnanie kanoniczne metody si艂 i obliczamy szukan膮 reakcj臋.} \\
&X_1=-53,149\\
&\hbox{Korzystaj膮c z metody superpozycji liczymy warto艣ci momentu na wykresie ostatecznym.}聽\\
&M_{OST}=M_1\cdot{X_1}+M_P\\
&M_A=0\\ 聽 聽 聽 聽 聽 聽 聽 聽 聽 聽 聽 聽 聽 聽 聽 聽 聽 聽 聽 聽 聽 聽 聽 聽 聽 聽 聽 聽 聽 聽 聽 聽 聽 聽 聽 聽 聽 聽 聽 聽 聽 聽 聽 聽 聽 聽 聽 聽 聽 聽 聽 聽 聽 聽 聽 聽 聽 聽 聽 聽 聽 聽 聽 聽 聽 聽 聽 聽 聽 聽 聽 聽 聽 聽 聽 聽 聽 聽 聽 聽 聽 聽 聽 聽 聽 &M_B=0,5\cdot{X_1}+45=18,426\\
&M_C=1\cdot{X_1}+0=-53,149\\
&M_D=1\cdot{X_1}+96=42,851\\
\end{align*}
\)

 

Dodaj komentarz

avatar
  Subscribe  
Powiadom o