Logo

Łukasz 796 083 343 Grzegorz 731 857 989

Przykład 1 (bezpłatny)

Przykład 1 (bezpłatny)

Treść

Swobodnie podparta belka o przekroju przedstawionym na poniższym rysunku obciążona jest siłą 𝑃=100 𝑘𝑁. Sprawdzić wartości naprężeń w punktach krytycznych przekroju niebezpiecznego. W obliczeniach zastosować hipotezę HMH. Wykonać wykresu momentów zginających i sił poprzecznych oraz rozkładu naprężeń wzdluż wysokości przekroju. Naprężenia dopuszczalne odpowiednio wynoszą: \(𝑘_𝑔=120\ 𝑀𝑃𝑎, 𝑘_𝑡=80\ 𝑀𝑃𝑎\).



zginanie_poprzeczne001_00

Rozwiązanie


YT odnosnik (1)


Zachęcamy do obejrzenia rozwiązania tego przykładu (jak i pozostałych) na naszym kanale YouTube.
Wyjaśniam w nim krok po kroku jak należy rozwiązać to zadanie.
Obejrzenie tego filmiku pomoże Wam również zrozumieć pozostałe przykłady na naszej stronie.



zginanie_poprzeczne001_01

\(
\begin{align*}
&𝑧_1=50\ 𝑚𝑚 &𝐴_1=2000\ 𝑚𝑚^2\\
&𝑧_2=110\ 𝑚𝑚 &𝐴_2=2000\ 𝑚𝑚^2\\
&𝑧_𝑐=\frac{𝑧_1\cdot 𝐴_1+𝑧_2\cdot 𝐴_2}{𝐴_1+𝐴_2} &𝑧_𝑐=80\ mm\\
&𝐼_{𝑦𝑐}=\frac{20\cdot 100^3}{12}+2000\cdot (50−80)^2+\frac{100\cdot 20^3}{12}+2000\cdot (110−80)^2\\
&𝐼_{𝑦𝑐}=5333333\ 𝑚𝑚^4=5,33\cdot 10^{−6}\ 𝑚^4\\
\end{align*}\)



zginanie_poprzeczne001_02

Naprężenia normalne

\(
\begin{align*}
&𝜎=\frac{𝑀}{𝐼}\cdot 𝑧 &𝜎=\frac{−7,5\cdot 10^3}{5,33\cdot 10^−6}\cdot 𝑧=−1,407\cdot 10^9\cdot 𝑧\\
&𝜎_1=112,56\ 𝑀𝑃𝑎\\
&𝜎_3=0\ 𝑀𝑃𝑎\\
&𝜎_2=−28,14\ 𝑀𝑃𝑎\\
&𝜎_4=−56,28\ 𝑀𝑃𝑎\\
\end{align*}\)


Naprężenia styczne

\(
\begin{align*}
&𝜏=\frac{𝑄⋅𝑆}{𝐼⋅𝑏}\\
&𝜏=\frac{75\cdot 10^3}{5,33\cdot 10^{−6}}\cdot \frac{S}{b}=1,407\cdot 10^{10}\cdot \frac{S}{b}\\
\\
\\
\\
&\hbox{ Statyczne momenty bezwładności}\\
&𝑆_1=𝑆_4=0\\
&𝑆_3=100⋅20⋅30+20⋅20⋅10=64000\ 𝑚𝑚^3=64⋅10^{−6}\ 𝑚^3\\
&𝑆_2=100⋅20⋅30=60000\ 𝑚𝑚^3=60⋅10^{−6}\ 𝑚^3\\
\\
&𝜏_3=1,407⋅10^9⋅\frac{64⋅10^{−6}}{0,02}=45,03\ 𝑀𝑃𝑎\\
&𝜏_2′′=1,407⋅10^{10}⋅\frac{60⋅10^{−6}}{0,02}=42,21\ 𝑀𝑃𝑎\\
&𝜏_2′=8,44\ 𝑀𝑃𝑎\\
\end{align*}\)

S2S3

Wartości naprężeń w punktach krytycznych przekroju niebezpiecznego.

\(
\begin{align*}
&𝜎_{𝑟𝑒𝑑}^{𝐻𝑀𝐻}=\sqrt{𝜎^2+3⋅𝜏^2}\\
&𝜎_{𝑟𝑒𝑑}^{𝐻𝑀𝐻}(2)=\sqrt{28,14^2+3⋅42,21^2}=78,34\ 𝑀𝑃𝑎\\
&𝜎_{𝑟𝑒𝑑}^{𝐻𝑀𝐻}(3)=\sqrt{0^2+3⋅45,03^2}=78\ 𝑀𝑃𝑎\\
&𝜎_{𝑟𝑒𝑑}^{𝐻𝑀𝐻}(1)=\sqrt{112,56^2+3⋅0^2}=112,56\ 𝑀𝑃𝑎\\
\end{align*}\)



zginanie_poprzeczne001_03


Źródło:
Stanisław Wolny, Adam Siemieniec, Wytrzymałość materialów część 1, Wydawnictwo AGH, Kraków 2002, Przykład 9.38 s. 382