Logo

Łukasz 796 083 343 Grzegorz 731 857 989

Przykład 1

Przykład 1

Temat

Dla pełnej tarczy obciążonej na zewnętrznym promieniu ciśnieniem rozciągającym \(p_z=1/3 k_r\) obliczyć dopuszczalną prędkość kątową stosując hipotezę Hubera – Misesa – Hencky’ego. Dane: \(p_z=1/3 k_r, b,γ,ν\).

Rozwiązanie

\(
\begin{align*}
&σ_r=A-\frac{B}{r^2} -\frac{3+ν}{8g} γω^2 r^2 &(1)\\
&σ_φ=A+\frac{B}{r^2} -\frac{1+3ν}{8g} γω^2 r^2 &(2)\\
\end{align*}
\)

Warunki brzegowe:
\(
\begin{align*}
&σ_r (0)=σ_φ (0) &(3)\\
&σ_r (b)=p_z &(4)\\
\end{align*}
\)

Z równania (2) i (3):
\(
\begin{align*}
&σ_r r^2=Ar^2-B-(3+ν)/8g γω^2 r^4\\
&σ_φ r^2=Ar^2+B-(1+3ν)/8g γω^2 r^4\\
\end{align*}
\)

Odejmując stronami:
\(
\begin{align*}
&σ_r r^2-σ_φ r^2=-2B-(3+ν)/8g γω^2 r^4+(1+3ν)/8g γω^2 r^4\\
&B=0\\
\end{align*}
\)

Z równania (1) i (4):

\(
\begin{align*}
&A-(3+ν)/8g γω^2 b^2=p_z\\
&A=p_z+(3+ν)/8g γω^2 b^2\\
\end{align*}
\)

Podstawiając do równania (1):
\(
\begin{align*}
&σ_r=p_z+(3+ν)/8g γω^2 b^2-(3+ν)/8g γω^2 r^2\\
&σ_r=p_z+(3+ν)/8g γω^2 (b^2-r^2 )\\
\end{align*}
\)

Naprężenia zredukowane:
\(
\begin{align*}
&σ_red^HMH=√(σ_r^2-σ_r σ_φ+σ_φ^2 )\\
\end{align*}
\)

Wartość maksymalna dla r=0:
\(
\begin{align*}
&σ_red^HMH=σ_r (0)=A=p_z+(3+ν)/8g γω^2 b^2\\
\end{align*}
\)
Warunek:
\(
\begin{align*}
&σ_{red}^{HMH}≤k_r\\
&p_z+\frac{3+ν}{8g} γω^2 b^2≤k_r\\
&\frac{1}{3} k_r+\frac{3+ν}{8g} γω^2 b^2≤k_r\\
&\frac{3+ν}{8g} γω^2 b^2≤2/3 k_r\\
&ω^2≤\frac{2}{3} k_r \frac{8g}{(3+ν)γb^2} ) \\
&ω≤\sqrt{\frac{16gk_r}{3(3+ν)γb^2}}\\
\end{align*}
\)