Logo

Łukasz 796 083 343 Grzegorz 731 857 989

Stateczność i wyboczenie

Stateczność i wyboczenie

Podstawowe wzory

Siła krytyczna

\(P_kr=\frac{\pi^2 EI_{min}}{l_w^2}\)

Gdzie:

\(P_{kr}\) – siła krytyczna dla wyboczenia sprężystego (siła Eulerowska)

\(E\) – moduł Young’a

\(I_{min}\) – minimalny moment bezwładności przekroju

\(l_w\) – długość wyboczeniowa (inaczej: długość swobodna, długość redukowana)

\(l_w=\alpha l\)

Promień bezwładności

\(i_{min}=\sqrt{\frac{I_{min}}{A}}\)

Smukłość pręta

\(\lambda=\frac{l_w}{i_{min}}\)

Typowe przypadki

wyboczenie000_01 wyboczenie000_02 wyboczenie000_03 wyboczenie000_04
\(\alpha=2\) \(\alpha=1\) \(\alpha=\frac{1}{\sqrt{2}}=0,7\) \(\alpha=\frac{1}{2}\)

Zagadnienie Eulera

\(M=Pw\) \(EJw”=-M\) \(w”=-\frac{M}{EJ}\) \(w”=-\frac{Pw}{EJ}\)

Wprowadzamy oznaczenie:

\(k^2=\frac{P}{EJ}\) \(w”=-k^2w\) \(w”+k^2w=0\)

Otrzymaliśmy równianie różniczkowe, jego rozwiązaniem jest:

\(w=Asin(kx)+Bcos(kx)\)

Stałe $A, B$ są uzależnione od warunków brzegowych. Dla tego przypadku:

\(x=0 => w=0\) \(x=l => w=0\)

Stąd:

\(Asin(kl)=0\) \(B=0\)

Przypadek \(A=0\) nie jest dla nas interesujący, ponieważ odpowiada on stanowi równowagi pręta – jeżeli \(A=0\) wówczas \(w=0\) na całej długości pręta.

\(sin(kl)=0\) \(kl=n\pi\)

Wracając do wzoru na \(k\) otrzymujemy

\(k^2=\frac{P}{EJ}\) \(n^2{\pi}^2=\frac{P}{EJ}\) \(P_{kr}=\frac{{\pi}^2EI}{l^2}\)