Logo

Łukasz 796 083 343 Grzegorz 731 857 989

Przykład 1 (bezpłatny)

Przykład 1 (bezpłatny)

Treść

Pręt o zmiennej średnicy d oraz 2d jest utwierdzony na obu końcach i skręcany momentami 𝑀0 oraz 3 𝑀0, jak podano na poniższym rysunku. Wykonać wykres momentów skręcających, wykres naprężeń maksymalnych 𝜏𝑚𝑎𝑥 oraz obliczyć kąt 𝜑C skręcenia przekroju C. Dane liczbowe 𝑙=1𝑚, 𝑑=5𝑐𝑚, 𝑀0=1000 𝑁𝑚, 𝐺=80 𝐺𝑃𝑎

statycznie_niewyznaczalne001_00

 

Rozwiązanie

YT odnosnik (1)

Zachęcamy do obejrzenia rozwiązania tego przykładu (jak i pozostałych) na naszym kanale YouTube. Wyjaśniam tam jak od początku do końca należy rozwiązać to zadanie. Obejrzenie tego filmiku pomoże Wam również zrozumieć pozostałe przykłady na naszej stronie.

statycznie_niewyznaczalne001_01


Wskaźniki wytrzymałości i momenty bezwładności podstawowych figur płaskich: http://goo.gl/v98dd5

\(
\begin{align*}\\
&\hbox{Warunek geometryczny – całkowity kąt skręcenia jest równy 0: }\varphi_c =0\\
&\varphi=\frac{M_S\cdot l}{G\cdot I}\\
\\
&M_{AB}=M_A\\
&M_{BC}=M_A-3M_0\\
&M_{CD}=M_A-4M_0\\
\\
&I=\frac{\pi \cdot d^4}{32}\\
\\
&I_{AB}=I_{BC}=\frac{\pi \cdot (2d)^4}{32}=\frac{\pi \cdot d^4}{2}\\
&I_{CD}=\frac{\pi \cdot d^4}{32}\\
\\
&\hbox{W celu ułatwienia dalszych obliczeń wyznaczamy stosunek momentów bezwładności:}\\
&\frac{I_{AB}}{I_{CD}}=\frac{\pi d^4}{2}\cdot \frac{32}{\pi d^4}=16\ \Rightarrow I_{AB}=16I_{BC}\\
\\
&\varphi_c=\varphi_{AB}+\varphi_{BC}+\varphi_{CD}=0\\
&\varphi_c=\frac{M_A\cdot l}{G\cdot 16I_{CD}}+\frac{(M_A-3M_0)\cdot l}{G\cdot 16I_{CD}}+\frac{(M_A-4M_0)\cdot l}{G\cdot I_{CD}}=0\ |\cdot \frac{GI_{BC}}{l}\\
&\frac{1}{16}M_A+\frac{1}{16}M_A-\frac{3}{16}M_0+M_A-4M_0=0\\
&\frac{18}{16}M_A=\frac{67}{16}M_0\\
&M_A=\frac{67}{18}M_0=3,72M_0=3,72\ kNm\\
\end{align*}\)


Naprężenia styczne

\(
\begin{align*}\\
&\tau =\frac{M_S}{W_S}\\
&W_S=\frac{\pi \cdot d^3}{16}\\
\\
&W_{S_{AB}}=W_{S_{BC}}=\frac{\pi \cdot 0,1^3}{16}=1,96\cdot 10^{-4}\ m^3\\
&W_{S_{CD}}=\frac{\pi \cdot 0,05^3}{16}=2,45\cdot 10^{-5}\ m^3\\
\\
&\tau_{AB}=\frac{M_{AB}}{W_{S_{AB}}}=\frac{3,72\cdot 10^3}{1,96\cdot 10^{-4}}=18,98\ MPa\\
\\
&\tau_{BC}=\frac{0,72\cdot 10^3}{2,45\cdot 10^{-5}}=3,67\ MPa\\
&\tau_{CD}=\frac{-0,28\cdot 10^3}{2,45\cdot 10^{-5}}=-11,43\ MPa\\
\end{align*}\)


Kąt skręcenia przekroju C

Kąt skręcenia dwóch przekrojów odległych o x jest równy:

\(
\begin{align*}
&\varphi =\int\limits_{0}^{x} \frac{M_s(x)}{GI_0}dx\\
\end{align*}\)

\(
\begin{align*}\\
&I_{AB}=I_{BC}=\frac{\pi \cdot 0,1^4}{32}=9,82\cdot 10^{-6}\ m^4\\
&I_{CD}=\frac{\pi \cdot 0,05^4}{32}=6,14\cdot 10^{-7}\ m^4\\
\\
&\varphi_C=\varphi_{AB}+\varphi_{BC}\\
&\varphi_C=\int\limits_{0}^{1} \frac{3,72\cdot 10^3}{80\cdot 10^9\cdot 9,82\cdot 10^{-6}}dx+\int\limits_{0}^{1} \frac{0,72\cdot 10^3}{80\cdot 10^9\cdot 9,82\cdot 10^{-6}}dx=4,74\cdot 10^{-3}+9,16\cdot 10^{-4}=5,66\cdot 10^{-3}\ rad\\
&5,66\cdot 10^{-3}\ rad=5,66\cdot 10^{-3}\cdot \frac{180}{\pi} [^o] =0,32^o\\
\end{align*}\)


Wykresy

statycznie_niewyznaczalne001_02

Źródło:
Niezgodziński Michał E., Tadeusz Niezgodziński, Zadania z wytrzymałości materiałów, WNT, Warszawa 2002, Przykład 5.10 s. 69