Logo

Łukasz 796 083 343 Grzegorz 731 857 989

Przykład 1 (bezpłatny)

Przykład 1 (bezpłatny)

Treść

Jakie naprężenia powstaną w stopniowym pręcie niekołowym AB obustronnie utwierdzonym i obciążonym jak na rysunku? Narysuj wykres momentów skręcających i kąta skręcenia.
Dane: G = 80 GPa,

Rozwiązanie

prety_niekolowe001_01

tabelka

\(
\begin{align*}\\
&M_{BC}=M_C\\
&M_{AB}=M_C-30\\
\\
&\hbox{Część AB}\\
&h/b=4/3\\
&\alpha (1,2)=0,219\\
&\alpha (1,4)=0,228\\
&\alpha (1,33)=0,219+\frac{0,228-0,219}{0,2}\cdot 0,13=0,22485\\
&\beta (1,2)=0,166\\
&\beta (1,4)=0,187\\
&\beta (1,33)=0,166+\frac{0,187-0,166}{0,2}\cdot 0,13=0,17965\\
\\
&\hbox{Część BC}\\
&h/b=8/5=1,6\\
&\alpha (1,6)=0,234\\
&\beta (1,6)=0,204\\
\\
&I=\beta b^3 h\\
&I_{AB}=0,17965\cdot 0,03^3\cdot 0,04=1,94\cdot 10^{-7}\ m^4\\
&I_{BC}=0,204\cdot 0,05^3\cdot 0,08=2,04\cdot 10^{-6}\ m^4\\
&\hbox{Dla ułatwienia dalszych obliczeń wyznaczam stosunek }\ \frac{I_{BC}}{I_{AB}}\\
&\frac{I_{BC}}{I_{AB}}=\frac{2,04\cdot 10^{-6}}{1,94\cdot 10^{-7}}=10,515\ \Rightarrow I_{BC}=10,515I_{AB}\\
\\
&\hbox{Warunek geometryczny – całkowity kąt skręcenia jest równy 0: }\varphi_c =0\\
&\varphi=\frac{M_S\cdot l}{G\cdot I}\\
\\
&\varphi_c=\varphi_{AB}+\varphi_{BC}=0\\
&\varphi_c=\frac{(M_C-30)\cdot 4}{G\cdot I_{AB}}+\frac{M_C\cdot 4}{G\cdot 10,515I_{AB}}=0\ |\cdot GI_{AB} :4\\
&M_C-30+0,095M_C=0\\
&1,095M_C=30\\
&M_C=27,4\ kNm\\
\\
&\sum M=0\\
&M_A-30+M_C=0\\
&M_A=2,6\ kNm\\
\end{align*}\)

 

Naprężenia styczne

\(
\begin{align*}\\
&\tau =\frac{M_S}{W_S}\\
&W_S=\alpha b^2 h\\
\\
&W_{S_{AB}}=0,22485\cdot 0,03^2\cdot 0,04=8,09\cdot 10^{-6}\ m^3\\
&W_{S_{BC}}=0,234\cdot 0,05^2\cdot 0,08=4,68\cdot 10^{-5}\ m^3\\
\\
&\tau_{AB}=\frac{M_{AB}}{W_{S_{AB}}}=\frac{-2,6\cdot 10^3}{8,09\cdot 10^{-6}}=-321,38\ MPa\\
\\
&\tau_{BC}=\frac{27,4\cdot 10^3}{4,68\cdot 10^{-5}}=585,47\ MPa\\
\\
&\hbox{Kąt skręcenia:}\\
&\varphi_A=\varphi_C=0\\
&\varphi_B=\varphi_A+\varphi_{AB}\\
&\varphi=\frac{M_S\cdot l}{G\cdot I}\\
&\varphi_B=\frac{-2,6\cdot 10^3\cdot 4}{80\cdot 10^9\cdot 1,94\cdot 10^{-7}}=-0,67\ rad=-38,39^o\\
\end{align*}\)

 

Wykresy

prety_niekolowe001_02