Logo

Łukasz 796 083 343 Grzegorz 731 857 989

Przykład 1 (bezpłatny)

Przykład 1 (bezpłatny)

Treść

Wyznaczyć wykresy sił wewnętrznych.

1

Rozwiązanie

belki_przegubowe001_01

Przed rozpoczęciem obliczeń zaznaczamy reakcje na podporach, zamieniamy obciążenie ciągłe na siłę skupioną:

\(
\begin{align*}
&Q=ql=10\frac{kN}{m}\cdot 3m=40kN\\
\end{align*}
\)

oraz siłę przyłożoną pod kątem \(\alpha=30 ^{\circ}\)na składowe:

 

\(
\begin{align*}
&P_X=Pcos\alpha=30\cos30 ^{\circ}=15\sqrt{3}kN\\
&P_Y=Pcos\alpha=30\sin30 ^{\circ}=15kN
\end{align*}
\)

2

Wyznaczanie reakcji podporowych

Dzielimy belkę na dwie belki proste zastępujące przegub siłami fikcyjnymi.

3

Równanie dla całej belki
\(
\begin{align*}
\begin{array}{lll}
&\sum{X}=0 &H_A+30\cos{30 ^{\circ}}=0&H_{A}=-15\sqrt{3} kN\\
\end{array}
\end{align*}
\)

Równania dla lewej cz궜ci belki:

\(
\begin{align*}
\begin{array}{lll}
&\sum{M_D^1}=0 &R_{MA}+20\cdot 2=0&R_{MA}=-40 kN\\
&\sum{Y^1}=0 &20-V_D=0&V_D=20 kN\\
\end{array}
\end{align*}
\)

Równania dla prawej cz궜ci belki:

\(
\begin{align*}
\begin{array}{lll}
&\sum{M_C^2}=0 &V_D\cdot 6+V_B\cdot 4-30\sin{30 ^{\circ}}\cdot 1-40\cdot 2=0 &V_{B}=-6,25 kN\\
&\sum{M_B^2}=0 &V_D\cdot 2+40\cdot 2+30\sin{30 ^{\circ}}\cdot 3-V_C-4=0&V_C=41,25 kN\\
\end{array}
\end{align*}
\)
Przedział I

belki_przegubowe001_00 - przedział1

\(
\begin{align*}
&x_I\in(0,2)\\
&T_I=20kN\\
&M_I=R_{MA}+20kN\cdot x_I\\
&M_I(x_I=0)=R_{MA}=-20kNm\\
&M_I(x_I=2m)=R_{MA}+20\cdot 2=20kNm\\
&N_I=-H_A=15\sqrt{3}kN\\
\end{align*}
\)
Przedział II

belki_przegubowe001_00 - przedział2

\(
\begin{align*}
&x_{II}\in(0,2)\\
&T_{II}=V_D=20kN\\
&M_{II}=V_Dx_{II}\\
&M_{II}(x_{II}=0)=0\\
&M_{II}(x_{II}=2m)=40kNm\\
&N_{II}=-H_A=15\sqrt{3}kN\\
\end{align*}
\)
Przedział III

belki_przegubowe001_00 - przedział3

\(
\begin{align*}
&x_{III}\in(2,5)\\
&T_{III}=V_D-V_B-q(x_{III}-2)\\
&T_{III}(x_{III}=2m)=13,75kN\\
&T_{III}(x_{III}=5m)=-16,25kN\\
&T_{ex}=0 => V_D-V_B-q(x_{ex}-2)=0 ->x_{ex}=3,375m\\
&M_{III}=V_Dx_{III}+V_B(x_{III}-2)-\frac{1}{2}q(x_{III}-2)^2\\
&M_{III}(x_{III}=2m)=40kNm\\
&M_{III}(x_{III}=3,375m)=49,45kNm\\
&M_{III}(x_{III}=5m)=36,25kNm\\
&N_{III}=-H_A=15\sqrt{3}kN\\
\end{align*}
\)
Przedział IV

belki_przegubowe001_00 - przedział4

\(
\begin{align*}
&x_{IV}\in(0,1)\\
&T_{III}=V_D-V_B-q(x_{III}-2)\\
&T_{III}(x_{III}=2m)=13,75kN\\
&T_{III}(x_{III}=5m)=-16,25kN\\
&M_{III}=V_Dx_{III}+V_B(x_{III}-2)-\frac{1}{2}q(x_{III}-2)^2\\
&M_{III}(x_{III}=2m)=40kNm\\
&M_{III}(x_{III}=5m)=36,25kNm\\
&N_{III}=0\\
\end{align*}
\)
Wykresy

4