Logo

Łukasz 796 083 343 Grzegorz 731 857 989

Przykład 1

Przykład 1

scinanie_techniczne001_00

Treść

Dobrać wymiary elementu przedstawionego na poniższym rysunku, jeżeli siła \(P=37 kN\), a naprężenia dopuszczalne wynoszą:
\(k_r=120 MPa\)
\(k_t=70 MPa\)
\(k_d=180 MPa\)




Rozwiązanie

Obliczenie połączenia na rozciąganie i ścinanie

scinanie_techniczne001_01

Na początek obliczymy połączenie na rozciąganie i ścinanie korzystając z warunku wytrzymałości. Na ilustracji oznaczono powierzchnie rozciąganą i ścinaną:
powierzchnia rozciągana \(A_r\) – kolor różowy
powierzchnia ścinana \(A_t\) – kolor szary


Obliczenie połączenia na rozciąganie

\(\sigma_r=\frac{P}{A_r} \leq k_r\)

Pole powierzchni rozciąganej:

\(A_r=\frac{\pi d^2}{4}\)

Podstawiając:

\(\frac{P}{\frac{πd^2}{4}}\leq k_r → \frac{4P}{\pi d^2}\leq k_r\)

Przekształcamy, aby otrzymać średnicę:

\(d\geq \sqrt{\frac{4P}{\pi k_r}}\)

Podstawiając na wartościach:

\(\begin{align*}
&d\geq \sqrt{\frac{4⋅37⋅10^3}{\pi⋅120⋅10^6}}\\
&d≥0,0198m\\
\end{align*}\)

Przyjmujemy:

\(d=0,02m=2cm\)

Obliczenie połączenia na ścinanie

\(\sigma_t=\frac{P}{A_t} ≤k_t\)

Pole powierzchni ścinanej:

\(A_t=2πhr\)

Ponieważ \(r=\frac{d}{2}\):

\(A_t=2\pi h \frac{d}{2}=\pi hd\)

Podstawiając:

\(\frac{P}{πhd}\leq k_t\)

Przekształcamy, aby otrzymać h:

\(h\geq \frac{P}{πdk_t}\)

Podstawiając na wartościach:

\(\begin{align*}
&h\geq \frac{37⋅10^3}{π⋅0,02⋅70⋅10^6}\\
&h\geq 8,41⋅10^{-3} m\\
\end{align*}\)

Przyjmujemy:

\(h=9⋅10^{-3} m=10mm\)


scinanie_techniczne001_02

Obliczenie połączenia na docisk

Następnie obliczymy połączenie na docisk korzystając z warunku wytrzymałości. Na ilustracji oznaczono powierzchnię dociskaną.

\(\sigma_d=\frac{P}{A_d} \leq k_d\)

Pole powierzchni dociskanej:

\(A_d=\frac{\pi D^2}{4}-\frac{\pi d^2}{4}=\frac{\pi}{4} (D^2-d^2)\)

Podstawiając:

\(\begin{align*}
&\frac{P}{\frac{\pi}{4} (D^2-d^2)}≤k_d\\
&\frac{4P}{\pi (D^2-d^2)} ≤k_d\\
\end{align*}\)

Przekształcamy, aby otrzymać D:

\(
\begin{align*}
&\frac{4P}{\pi(D^2-d^2)} \leq k_d → 4P\leq πk_d (D^2-d^2)\\
&4P\leq \pi k_d D^2-\pi k_d d^2 → \pi k_d D^2\geq 4P-\pi k_d d^2\\
&D\geq \sqrt{\frac{4P-\pi k_d d^2}{πk_d}}\\
&D\geq \sqrt{\frac{4P}{\pi k_d}-d^2}\\
\end{align*}
\)

Podstawiając na wartościach:

\(\begin{align*}
&D\geq \sqrt{\frac{4⋅37⋅10^3}{\pi⋅180⋅10^6}-(0,02)^2}\\
&D\geq 0,0257m\\
\end{align*}\)

Przyjmujemy:

\(D=0,026m=2,6cm\)