Logo

Łukasz 796 083 343 Grzegorz 731 857 989

Przykład 3 (bezpłatny)

Przykład 3 (bezpłatny)

Treść

Drewniana belka podwieszona jest na trzech prętach – pierwszy i trzeci wykonane są ze stali, drugi jest miedziany, o długościach \(l_1=3m, l_2=2m, l_3=4m\)
Obliczyć jakie naprężenia powstają w prętach.

statycznie_niewyznaczalne003_00

Dane

\(
\begin{align*}\\
&k_{r_s}t=120\ MPa\\
&k_{r_m}=30\ MPa\\
&A_1=A_2=2\cdot A_3\\
&E_2=105\ GPa\\
&E_1=E_3=210\ GPa\\
\end{align*}
\)

Rozwiązanie



YT odnosnik (1)

\(
\begin{align*}\\
&\sum{M_{C}}=0\\
&N_{1}\cdot 4 – 75\cdot 2 – N_{3}\cdot 4 = 0\\
&N_{1}=\frac{150 + 4\cdot N_{3}}{4}\\
&N_{1}=37,5 + N_{3}\\
&\sum{Y}=0\\
&N_{1} – 75 + N_{2} + N_{3} =0\\
&37,5 + N_{3} – 75 + N_{3}=-N_{2}\\
&N_{2}=37,5 – 2N_{3}\\
\end{align*}\)


Warunek geometryczny

\(
\begin{align*}\\
&\frac{\Delta l_{3}-\Delta l_{1}}{8}=\frac{\Delta l_{2}-\Delta l_{1}}{4}\\
\end{align*}\)


statyczne_niewyznaczalne003_02

\(
\begin{align*}\\
&\Delta l_{3}-\Delta l_{1}=2(\Delta l_{2}-\Delta l_{1})\\
&\Delta l_{3}+\Delta l_{1}-2\cdot \Delta l_{2}=0\\
&\Delta l=\frac{N\cdot l}{E\cdot A}\\
&\frac{N_{3}\cdot 4}{E_{3}\cdot A_{3}}+\frac{N_{1}\cdot 3}{E_{1}\cdot A_{1}}-2\cdot \frac{N_{2}\cdot 2}{E_{2}\cdot A_{2}}=0\\
&A_{1}=A_{2}=2A_{3}\\
&\frac{E_{2}}{E_{1}}=\frac{105 \ GPa}{210 \ GPa}=\frac{1}{2} & \Rightarrow & 2E_{2}=E_{1}\\
&E_{1}=E_{3}\\
\\
&\frac{N_{3}\cdot 4}{2E_{2}\cdot A_{3}}+\frac{(37,5 + N_{3})\cdot 3}{2E_{2}\cdot 2A_{3}} – 2\cdot\frac{(37,5 – 2N_{3})\cdot 2}{E_{2}\cdot 2A_{3}}=0 & |\cdot E_{2}A_{3}\\
&2N_{3} + \frac{3}{4}(37,5 + N_{3}) – 2(37,5 – 2M_{3})=0\\
&2N_{3} + 28,125 + 0,75N_{3} – 75 + 2N_{3}\\
&4,75N_{3}=46,875\\
&N_{3}=9,868 \ kN\\
&N_{1}=37,5 + N_{3}=47,368 \ kN\\
&N_{2}=37,5 – 2N_{3}=17,764 \ kN\\
\end{align*}\)


\(
\begin{align*}\\
&\sigma=\frac{N}{A}\\
&\sigma_{1}=\frac{47,368\cdot 10^{3}}{A_{1}}\le 120\cdot 10^{6} & \Rightarrow & A_{1}\ge 3,95\cdot 10^{-4} \ m^{2}\\
&\sigma_{2}=\frac{17,764\cdot 10^{3}}{A_{2}}\le 30\cdot 10^{6} & \Rightarrow & A_{2}\ge 5,92\cdot 10^{-4} \ m^{2}\\
&\sigma_{3}=\frac{9,868\cdot 10^{3}}{A_{3}}\le 120\cdot 10^{6} & \Rightarrow & A_{3}\ge 8,22\cdot 10^{-5} \ m^{2}\\
\end{align*}\)


\(
\begin{align*}\\
&A_{1}=A_{2}=2A_{3}\\
&A_{1}=A_{2}=6\cdot 10^{-4}\\
&A_{3}=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 10^{-4}=3\cdot 10^{-4}\\
\end{align*}\)


\(
\begin{align*}\\
&\sigma_{1}=\frac{47,368\cdot 10^{3}}{6\cdot 10^{-4}}=78,95 \ MPa\\
&\sigma_{2}=\frac{17,764\cdot 10^{3}}{6\cdot 10^{-4}}=29,60 \ MPa\\
&\sigma_{3}=\frac{9,868\cdot 10^{3}}{3\cdot 10^{-4}}=32,89 \ MPa\\
\end{align*}\)


Copy Protected by Chetan's WP-Copyprotect.