Logo

Łukasz 796 083 343 Grzegorz 731 857 989

środek masy stożka

środek masy stożka

\(
\begin{align*}
\frac{r}{H-z}=\frac{R}{H}\\
r=\frac{R(H-z)}{H}\\
dm=\rho \pi r^2 dz\\
\end{align*}
\)

Moment statyczny

\(
\begin{align*}
&S=\int z dm= \rho \pi \int_0^Hzr^2dz= \rho \pi \int_0^H z \left(\frac{R(H-z)}{H}\right)^2 dz=\\
&= \rho \pi \left(\frac{R}{H}\right)^2\int_0^H z(H-z)^2 dz = \rho \pi \left(\frac{R}{H}\right)^2\int_0^H (H^2z-2Hz^2+z^3) dz =\\
&= \rho \pi \left(\frac{R}{H}\right)^2 \left( H^2 \frac{z^2}{2}\bigg|_0^H – 2H \frac{z^3}{3}\bigg|_0^H + \frac{z^4}{4}\bigg|_0^H \right)=\rho \pi \left(\frac{R}{H}\right)^2 \left( \frac{H^4}{2} – \frac{2H^4}{3} + \frac{H^4}{4} \right)=\\
&= \rho \pi \left(\frac{R}{H}\right)^2\ \frac{H^4}{12}=\rho \pi \frac{R^2H^2}{12}\\\end{align*}
\)

Ponieważ masa stożka:

\(
\begin{align*}
m=\frac{1}{3} \rho \pi R^2 H\\
\end{align*}
\)

Położenie środka ciężkości:

\(
\begin{align*}
z_c=\frac{S}{m}=\frac{\rho \pi \frac{R^2H^2}{12}}{\frac{1}{3} \rho \pi R^2 H}=\frac{1}{4}H\\
\end{align*}
\)

Copy Protected by Chetan's WP-Copyprotect.