Logo

Łukasz 796 083 343 Grzegorz 731 857 989

środek masy półkuli

środek masy półkuli

\(
\begin{align*}
r=\sqrt{R^2-z^2}\\
dm=\rho \pi r^2 dz\\
\end{align*}
\)

Moment statyczny

\(
\begin{align*}
S=\int z dm = \rho \pi \int_0^R z r^2 dz= \rho \pi \int_0^R z (R^2-z^2) dz= \rho \pi \int_0^R (R^2z-z^3) dz=\\
= \rho \pi \left( R^2\frac{z^2}{2}\bigg|_0^R – \frac{z^4}{4} \bigg|_0^R \right) = \rho \pi \left( \frac{R^2}{2} – \frac{R^4}{4} \right) = \rho \pi \frac{R^4}{4}\\
\end{align*}
\)

Ponieważ masa półkuli:

\(
\begin{align*}
m=\frac{1}{2} \frac{4}{3} \rho \pi R^3= \frac{2}{3} \rho \pi R^3=\\
\end{align*}
\)

Położenie środka ciężkości:

\(
\begin{align*}
z_c=\frac{S}{m}=\frac{\rho \pi \frac{R^4}{4}}{ \frac{2}{3} \rho \pi R^3}=\frac{3}{8}R\
\end{align*}
\)