Logo

Łukasz 796 083 343 Grzegorz 731 857 989

Przykład 2

Przykład 2

Położenie i prędkość masy 1:
\(
\begin{align*}
&x_0=lsin\varphi &\dot{x_0}=\dot{\varphi} lcos\varphi\\
&y_0=0 &\dot{y_0}=0\\
\end{align*}
\)
Położenie i prędkość masy 2:
\(
\begin{align*}
&x_A=0 &\dot{x_A}=0\\
&y_A=lcos\varphi &\dot{y_A}=-\dot{\varphi}lsin\varphi\\
\end{align*}
\)

Energia kinetyczna i potencjalna układu:
\(
\begin{align*}
&E_k=\frac{1}{2}M\dot{\varphi}^2 l^2 cos^2\varphi+\frac{1}{2}m\dot{\varphi}^2 l^2 sin^2\varphi+\frac{1}{2}J\omega^2=…\\
&J=\frac{1}{2}Mr^2, \omega=\frac{v}{r}, E_k=\frac{1}{2}\frac{1}{2}Mr^2\frac{v^2}{r^2}=\frac{1}{4}Mv^2\\
&…=&=\frac{3}{4}M\dot{\varphi}^2 l^2 cos^2\varphi+\frac{1}{2}m\dot{\varphi}^2 l^2 sin^2\varphi+\frac{1}{2}J\omega^2\\
&E_p=mglcos\varphi+\frac{1}{2}k(\Delta x)^2=..\\
&\Delta x=lsin\varphi\\
&..=mglcos\varphi+\frac{1}{2}kl^2sin^2\varphi\\
\end{align*}
\)

Obliczamy pochodne cząstkowe energii:
\(
\begin{align*}
&\frac{\partial{E_k}}{\partial{\dot{\varphi}}}=\frac{3}{4}M2\dot{\varphi} l^2 cos^2\varphi+\frac{1}{2}M2\dot{\varphi} l^2 sin^2\varphi\\
&=\frac{3}{2}M\dot{\varphi} l^2 cos^2\varphi+M\dot{\varphi} l^2 sin^2\varphi\\
&\frac{d}{dt}\bigg(\frac{\partial{E_k}}{\partial{\dot{\varphi}}}\bigg)=\frac{3}{2}M\ddot{\varphi} l^2 cos^2\varphi+M\ddot{\varphi} l^2 sin^2\varphi\\
&\frac{\partial{E_k}}{\partial{\varphi}}=-\frac{3}{4}M\dot\varphi^2 l^2 2sin\varphi cos\varphi+\frac{1}{2}m \dot{\varphi}^2l^2 2sin\varphi cos\varphi\\
&\frac{\partial{E_p}}{\partial{\varphi}}=-mglsin\varphi + \frac{1}{2}kl^2 2sin\varphi cos\varphi\\
\end{align*}
\)

4) Obliczamy siłę uogólnioną
\(
\begin{align*}
&\vec{F}=(0,-F)\
&\partial{x_A}=0\\
&\partial{y_A}=lsin\varphi \partial\varphi\\
&\partial L=Flsin\varphi \partial\varphi\\
&Q_{varphi}=Flsin\varphi\
\end{align*}
\)

5) Równanie Lagrange’a II rodzaju:
\(
\begin{align*}
&\frac{d}{dt}\bigg(\frac{\partial{E_k}}{\partial{\dot{\varphi}}}\bigg)-\frac{\partial{E_k}}{\partial{\varphi}}+\frac{\partial{E_p}}{\partial{\varphi}}=Q_{\varphi}\\
\end{align*}
\)

Copy Protected by Chetan's WP-Copyprotect.