Logo

Łukasz 796 083 343 Grzegorz 731 857 989

Przykład 1

Przykład 1

Położenie i prędkość masy 1:
\(
\begin{align*}
&x_A=lsin\varphi &\dot{x_A}=\dot{\varphi} lcos\varphi\\
&y_A=0 &\dot{y_A}=0\\
\end{align*}
\)
Położenie i prędkość masy 2:
\(
\begin{align*}
&x_B=0 &\dot{x_B}=0\\
&y_B=lcos\varphi &\dot{y_B}=-\dot{\varphi}lsin\varphi\\
\end{align*}
\)

Energia kinetyczna i potencjalna układu:
\(
\begin{align*}
&E_k=\frac{1}{2}m_1v_A^2+\frac{1}{2}m_2v_B^2=\frac{1}{2}m_1\dot\varphi^2l^2cos^2{\varphi}+\frac{1}{2}m_2\dot\varphi^2l^2sin^2{\varphi}\\
&E_p=-m_2glcos\varphi\\
\end{align*}
\)

Obliczamy pochodne cząstkowe energii:
\(
\begin{align*}
&\frac{\partial{E_k}}{\partial{\dot{\varphi}}}=\frac{1}{2}m_1 2 \dot{\varphi} l^2 cos^2\varphi+\frac{1}{2}m_1 2 \dot{\varphi} l^2 sin^2\varphi\\
&\frac{d}{dt}\bigg(\frac{\partial{E_k}}{\partial{\dot{\varphi}}}\bigg)=m_1l^2 (\ddot{\varphi} cos^2\varphi-\dot{\varphi}^2 2 cos\varphi sin\varphi)+m_2l^2 (\ddot{\varphi} sin^2\varphi+\dot{\varphi}^2 2 cos\varphi sin\varphi)\\
&=m_1l^2 (\ddot{\varphi} cos^2\varphi-\dot{\varphi}^2 sin2\varphi)+m_2l^2 (\ddot{\varphi} sin^2\varphi+\dot{\varphi}^2 sin2\varphi)\\
&\frac{\partial{E_k}}{\partial{\varphi}}=-\frac{1}{2}m_1\dot{\varphi}^2l^2 2cos\varphi sin\varphi+\frac{1}{2}m_2\dot{\varphi}^2l^2 2cos\varphi sin\varphi\\
&=-\frac{1}{2}m_1\dot{\varphi}^2l^2 sin2\varphi+\frac{1}{2}m_2\dot{\varphi}^2l^2 sin2\varphi\\
&\frac{\partial{E_p}}{\partial{\varphi}}=m_2glsin\varphi\\
\end{align*}
\)

Dwa słowo matematyki – trzeba zwrócić uwagę na to, że:
\(
\begin{align*}
&(a \cdot b)’=a’b+b’a\\
&2 sin \varphi cos \varphi = sin 2\varphi\\
\end{align*}
\)

Obliczamy siłę cząstkową:
\(
\begin{align*}
&\vec{P}=(-Psin\varphi,Pcos\varphi)\\
&\partial{x_A}=lcos\varphi\partial\varphi\\
&\partial{y_A}=0\\
&\partial L=-P l sin\varphi cos\varphi \partial \varphi\\
&Q_{\varphi}=-P l sin\varphi cos\varphi \\
\end{align*}
\)

Równanie Lagrange’a II rodzaju:
\(
\begin{align*}
&\frac{d}{dt}\bigg(\frac{\partial{E_k}}{\partial{\dot{\varphi}}}\bigg)-\frac{\partial{E_k}}{\partial{\varphi}}+\frac{\partial{E_p}}{\partial{\varphi}}=Q_{\varphi}\\
&m_1l^2 (\ddot{\varphi} cos^2\varphi-\dot{\varphi}^2 sin2\varphi)+m_2l^2 (\ddot{\varphi} sin^2\varphi+\dot{\varphi}^2 sin2\varphi)+\frac{1}{2}\dot{\varphi}^2l^2 sin2\varphi (m_1-m_2)+m_2glsin\varphi=-P l sin\varphi cos\varphi \\
\end{align*}
\)