Logo

Łukasz 796 083 343 Grzegorz 731 857 989

Przykład 4

Przykład 4

Dla zadanego układu wyznacz wykresy sił wewnętrznych, korzystając z metody przemieszczeń.

efizyka-mp-belka-401

Rozwiązanie

Określenie stopnia kinematycznej niewyznaczalności (SKN) i przyjęcie układu podstawowego metody przemieszczeń (UPMP):

\(
\begin{align*}
&SKN=2+0=2\\
\\[0.3cm]\\
\end{align*}
\)
efizyka-mp-belka-402

Układ równiań z niewiadomymi przemieszczeniami:

\(
\begin{align*}
\\
&r_{11}\cdot\varphi_{1}& + r_{12}\cdot\varphi_{2} + r_{1p}=0\\
&r_{21}\cdot\varphi_{1}& + r_{22}\cdot\varphi_{2} + r_{2p}=0\\
\\
\end{align*}
\)

efizyka-mp-belka-403

\(
\begin{align*}
\\
&r_{11}=\frac{4}{3} +2 =\frac{10}{3}\hspace{5.5cm}r_{21}=\frac{2}{3}\\
\\
\end{align*}
\)

efizyka-mp-belka-404

\(
\begin{align*}
\\
&r_{12}=\frac{2}{3} \hspace{7.5cm}r_{22}=\frac{4}{3} +1 =\frac{7}{3}\\
\\
\end{align*}
\)

efizyka-mp-belka-405

\(
\begin{align*}
\\
&r_{1p}=-9 \hspace{7.5cm}r_{2p}=10+9=19\\
\\[0.4cm]\\
\end{align*}
\)

Rozwiązanie układu równań:

\(
\begin{align*}
&\frac{10}{3}\cdot\varphi_{1} + \frac{2}{3}\cdot\varphi_{2} -9=0\\
&\frac{2}{3}\cdot\varphi_{1} + \frac{7}{3}\cdot\varphi_{2} +19=0\\
\\[0.4cm]\\
&\varphi_{1}=4,596\
&\varphi_{2}=-9,48\
\\[0.4cm]\\
\end{align*}
\)

Obliczenie ostatecznych wartości zadanych sił przekrojowych:

\(
\begin{align*}
\\[0.4cm]\\
&M_{ost}=M_{p}+\varphi_{1}\cdot M_{1}+\varphi_{2}\cdot M_{2}\\
\\[0.3cm]\\
&M_{AB}=4,61\\
&M_{BA}=4,596\cdot (-2)=-9,19\\
&M_{BC}=4,596\cdot\frac{4}{3}-9,48\cdot \frac{2}{3}-9=-9,19\\
&M_{CB}=4,596\cdot\frac{2}{3}-9,48\cdot \frac{4}{3}+9=-0,573\\
&M_{CD}=-9,48+10=0,52\\
&M_{DC}=20\
\\
&M_{CD}=20\
\\[0.6cm]\\
\end{align*}
\)

Element AB:

efizyka-mp-belka-407

\(
\begin{align*}
&\sum{M_{A}}=0\\
\end{align*}
\) \(
\begin{align*}
&{Q_{BA}}\cdot 2+9,19+4,58=0\\
&{Q_{BA}}=-6,885\\
&{Q_{AB}}={Q_{BA}}\\
\\[0.4cm]\\
\end{align*}
\)

Element BC:

efizyka-mp-belka-408

\(
\begin{align*}
&\sum{M_{B}}=0\\
\end{align*}
\) \(
\begin{align*}
&{Q_{CB}}\cdot 3-0,52-9,19+12\cdot 3\cdot 1,5=0\\
&{Q_{CB}}=-14,76\\
\end{align*}
\) \(
\begin{align*}
\\
&\sum{Y}=0\\
\end{align*}
\) \(
\begin{align*}
&{Q_{BC}}+14,76-12\cdot 3=0\\
&{Q_{BA}}=21,24\\
\\[0.4cm]\\
\end{align*}
\)

Element CD:

efizyka-mp-belka-409

\(
\begin{align*}
&\sum{M_{D}}=0\\
\end{align*}
\)

\(
\begin{align*}
&{Q_{DC}}\cdot 3+20-0,52=0\\
&{Q_{DC}}=-6,49\\
&{Q_{CD}}={Q_{DC}}\\
\end{align*}
\)

Wykresy ostateczne sił wewnętrznych

efizyka-mp-belka-406